Um seinen deutschen Lesern die korrekte Aussprache seines Nachnamens zu ermöglichen, änderte er ihn entsprechend ab, so dass er seine Bücher, die er fast alle auf Deutsch schrieb, als „Jón Svensson“ verfasste.
In seinen vielfältigen Schriften und Reiseberichten („Et ridt gennem Island“; „Aus Island“; „Naturgewalten auf Island“, etc.), aber auch in den zwölf „Nonni“-Büchern und last, but not least in den ca. 5000 Vorträgen, die er rund um den Erdball hielt, setzte er seiner geliebten Heimat ein großartiges Denkmal. Viele Leser erfuhren erst durch die „Nonni“-Bücher von den Schönheiten, aber auch von den bedrohlichen Naturgewalten dieser Insel im hohen Norden. Und auch heute noch berichten viele Islandreisende, dass sie durch die „Nonni“-Bücher zu wahren Island-Fans geworden sind. Genau das hatte Jón Svensson im Sinn, als er auf Vortragsreisen ging und seinen gebannt lauschenden Zuhörern von seiner Heimat und seinen Kindheitserlebnissen erzählte. Schon im Jahre 1930 erkannte Akureyri die großen Verdienste, die Jón Sveinsson sozusagen als „Botschafter“ Islands erworben hatte und verlieh ihm die Ehrenbürgerschaft, als er auf Einladung der isländischen Regierung an der 1000-Jahr-Feier des „Althing“ teilnahm (siehe „Die Feuerinsel im Nordmeer“). Es war sein zweites und letztes Wiedersehen mit seiner Heimat, die er als 12-Jähriger verlassen hatte.
Diesen herzzerreissenden Abschied und die lebensgefährliche Fahrt mit einem Segelschiff, dem Ein-Master "Valdemar von Rönne" von Island nach Dänemark im Herbst 1870 beschreibt Sveinsson in seinem ersten „Nonni“-Buch („Nonni. Erlebnisse eines jungen Isländers, von ihm selbst erzählt“).
Er hatte von einem französischen Adeligen ein Stipendium erhalten, weshalb er über Kopenhagen nach Avignon reisen sollte. Doch der deutsch-französische Krieg von 1870/71 machte zunächst eine Weiterfahrt unmöglich. So blieb Nonni erst einmal in Kopenhagen bei seinem Gastgeber, dem katholischen Dr. Grüder, von dem Nonni meinte, er sei Bischof (er war aber nur Apostolischer Präfekt).
Seine Erlebnisse in dieser Großstadt schildert Sveinsson in den beiden Büchern: "Stadt am Meer" bzw. "Nonni in der Stadt am Meer" und "Abenteuer auf den Inseln"; aber auch in "Wie Nonni das Glück fand" widmet er einige Kapitel seinem plötzlich grundlegend andersartigem Leben - mit Schulpflicht und unter Katholiken! Davor hatte er regelrecht Angst gehabt, weil er sich die katholischen Priester streng und unnahbar vorgestellt hatte - er hatte ja auf Island noch keinen gesehen! Überdies hatte er gemeint, sie würden ihn zwingen, seinen protestantischen Glauben aufzugeben. So war der Junge sehr erfreut über den freundlichen Empfang im Hause des "Bischofs" und seiner Mitarbeiter. Dass Nonni dann nach ca. einem Jahr tatsächlich zum katholischen Glauben übertrat, geschah aus freien Stücken - und war von seiner klugen und frommen Mutter bereits vorher gesehen worden; so hatte sie ihrem Sohn in weiser Voraussicht bereits ihre Einverständniserklärung mitgegeben!
Als der Krieg vorbei war, hieß es für Nonni wieder Abschied nehmen, denn nun sollte er zu seinem eigentlichen Ziel, nach Avignon, weiter reisen. Zunächst bestieg er wieder ein Segelschiff, das ihn von Kopenhagen nach Dünkirchen brachte. Von dort ging es mit der Eisenbahn weiter nach Amiens, wo Nonni für kurze Zeit das "Collège de la Providence" besuchen sollte, um sich im wahrsten Sinne des Wortes zu akklimatisieren.
Von den Mitschülern wurde er wie ein Exot bestaunt, denn seine Heimat Island war damals noch weit weniger bekannt als heute. In seinem Buch "Wie Nonni das Glück fand" beschreibt Sveinsson die Reaktion der kleinen Franzosen mit folgenden humorvollen Worten: "Ein Isländer! Aber ein echter, leibhaftiger, wahrer und wirklicher kleiner Isländer! Das war etwas hier gänzlich Neues, etwas nie Dagewesenes. - Wäre ich ein Eskimo oder ein Lappländer gewesen, ein Chinese oder ein Feuerländer: gewiss, selten genug; aber doch nicht so ganz unglaublich, denn solche Menschen wurden doch ab und zu genannt. - Aber ein Isländer! Was konnte das wohl sein? "
Aus verschiedenen Gründen - ebenfalls nachzulesen in "Wie Nonni das Glück fand" - fuhr er dann doch nicht nach Avignon, sondern blieb in Amiens, wohin einige Jahre später auch sein über alles geliebter Bruder Manni kam.
Leider gibt es über Nonnis Jahre in Frankreich keinen ausführlichen Bericht. Obwohl Sveinsson angekündigt hatte, ein Buch mit dem Titel „Nonni in Frankreich“ zu schreiben, ist es aus ungeklärten Gründen nicht dazu gekommen.
Die Reiselust, die er schon als kleiner Junge in sich gespürt hatte, verließ ihn sein ganzes Leben nicht – schließlich war Sveinsson ein echter Normanne mit einem Stammbaum, der 30 Generationen zurück verfolgt werden kann (Krose, H.A.: Jón Svensson. Ein Lebensbild „Nonnis“ nach seinen Tagebüchern. Herder 1949). So trat er z. B. noch mit fast 80 Jahren im Jahr 1936 eine Welt- und Vortragsreise an, die ihn von Holland über Paris, London, Southampton mit einem Ozeanriesen nach New York führte. Von dort ging es per Eisenbahn über Kanada nach San Francisco, wo er einige Wochen blieb (siehe „Nonnis Reise um die Welt“ Band I bzw. „Nonni in Amerika“).